Matematika

Senin, 16 Desember 2019

INTEGRAL KALKULUS

Integral kalkulus atau integrasi adalah kebalikan dari differensiasi, yaitu:

Apabila fungsi F(x) merupakan an integral (anti derivative) function dari fungsi f(x), maka: F(x) disebut sebagai primitive function, sedangkan
f(x) merupakan derivative dari F(x) dan f(x) adalah fungsi kontinyu (a continuous function) di atas domainnya atau suatu interval independent variabel x.
Jadi integrasi atau integral kalkulus menyangkut pencarian (tracing) asal (the parentage of) dari fungsi f(x). Tetapi differensiasi mencari turunan (derivative atau differentiation) dari F(x).
Differensiasi dari F(x) menghasilkan fungsi yang unik (a unique derivative function) f(x).
Sebaliknya, integration dari f(x) menghasilkan banyak tak terbatas bentuk fungsi (indefinite number of possible parents) F(x).

Integral adalah kebalikan dari differensial.

Notasi:

f(x) adalah fungsi yang akan diintegralkan
dx tanda untuk melakukan diferensiasi terhadap x
→ notasi diferensiasi dari the primitive function.

Rule 1 (The power rule)

Contoh soal

Rule 2 (The exponential rule)

Fungsi eksponensial adalah fungsi yang biasa dinotasikan dalam bentuk (e pangkat x).

~ Rule 2

Contoh soal

Rule 3 (The logaritmic rule)

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.

~ Rule 3

Contoh soal

Rule 4 (The integral of sum)

Apabila kamu menemukan bentuk integral yang tidak bisa diselesaikan dengan integral subtitusi, mungkin permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan subtitusi ganda yang lebih dikenal sebagai integral parsial.

dimana c, c1 dan c2 adalah arbitrary in value, jadi bisa ditulis c = c1 + c2. Karena

Contoh soal

Rule 5 (The integral of multiple)

Integral lipat dua dengan bentuk umum ∫∫f(x,y) dA biasanya digunakan untuk menghitung luas. Luas dari suatu bidang dapat dipandang dengan suatu integral lipat dua jika f(x,y) = 1 sehingga integral lipat dua.

Contoh Soal

Rule 6 (The Subtitution rule)

Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Teknik perhitungan pengintegralan dengan menggunakan rumus integral subtitusi memerlukan 2 langkah sebagai berikut:

1. Memilih fungsi u : g(x) sehingga ∫f (g(x)) g'(x) dx dapat diubah menjadi ∫f (u) du.

2. Tentukan fungsi integral umum = f (u) yang bersifat f' (du) : f (u).

Contoh Soal

Rule 7 (Integration by parts)

Apabila kamu menemukan integral yang tidak bisa diselesaikan dengan integral subtitusi, mungkin permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan subtitusi ganda yang lebih dikenal sebagai integral parsial.

Contoh soal

Rule 8 (Trigonometric rule)

Untuk memahami integral dari fungsi trigonometri, dibutuhkan pemahaman yang baik mengenai turunan trigonometri.

Turunan Fungsi Trigonometri:

𝓕(𝒙)

𝓕′(𝒙)

𝐬𝐢𝐧𝒙

cos𝑥

𝐜𝐨𝐬𝒙

−sin𝑥

𝐭𝐚𝐧𝒙

𝑠𝑒𝑐2𝑥

𝐬𝐞𝐜𝒙

tan𝑥.sec𝑥

𝐜𝐨𝐭𝒙

−𝑐𝑠𝑐2𝑥

𝐜𝐬𝐜𝒙

−cot𝑥.csc𝑥

Contoh Soal

Matriks

Matriks Lanjutan III

Persamaan Simultan

Persamaan simultan adalah kumpulan dari beberapa persamaan linear yang terdiri dari satu, dua atau tiga variable bebas. Untuk persamaan linear yang terdiri dari satu variable, misalnya 4x + 5 = 9, maka dengan mudah bisa diselesaikan persamaan tersebut dengan memindahkan ruasnya
Dapat dilihat pada contoh berikut :
4x + 5 = 9 4x = 4 x = 1
Dibawah ini yang akan kita bahas adalah persamaan linear dari 2 dan 3 variabel.

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Tujuan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan itu. Untuk menyelesaikan persamaan linear ada 2 metoda yaitu metoda Invers dan metoda cramer

1. Metode Invers
Bentuk Ax = b dapat dirumuskan sebagai berikut.

Contoh soal:

2.Metode Cramer
Diketahui sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut.
ax + by = c
px + qy = r
dapat diubah kedalam bentuk matriks sebagai berikut :

Contoh soal

B. Sistem Persamaan Linear 3 Variabel

Persamaan simultan yang terdiri dari 3 variabel juga dapat diselesaikan dengan cara yang sama yaitu metode invers dan metode cramer. Dibawah ini akan dijelaskan untuk masing –masing metode.

1 Metode invers

Diberikan persamaan linear sebagai berikut

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

………………….………………………………

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bn

Persamaan linear diatas dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

Penyelesaian persamaan simultan diatas diatas dapat dilakukan dengan menentukan balikan dari A, sedemikian sehingga diperoleh :

AX = B => A-1AX = A-1B => X = A-1B

2.Metoda Cramer

Metode Cramer merupakan suatu metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear melalui pemakaian determinan.

Jumat, 06 Desember 2019

MATRIKS

MATRIKS LANJUTAN III

PERSAMAAN SIMULTAN

Sistem Persamaan Linear 2 Variabel

Cara yang paling umum dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah menggunakan metode substitusi, eliminasi, atau campuran. Kali ini, idschool akan mengenalkan cara menyelesaiakan sistem persamaan linear (SPL) dengan cara yang baru, yaitu dengan menggunakan matriks. Meskipun cara ini akan sedikit rumit, namun cara ini akan sangat berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan banyak variabel. Selanjutnya, langsung ke langkah-langlah penyelesaian SPLDV yang dapat dilihat di bawah.

Diketahui sistem persamaan linear dua peubah sebagai berikut.

$ax + by = c$

$px + qy = r$

Dua persamaan di atas merupakan sistem persamaan linear dengan dua variabel, yaitu x dan y. Bentuk sistem di atas dalam matriks bisa dilihat pada persamaan di bawah.

$\begin{bmatrix} a & b \\ p & q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ r \end{bmatrix}$

Berdasarkan sifat matriks invertibel, maka variabel x dan y dapat diketahui melalui cara berikut.

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ p & q \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} c \\ r \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{aq - bp} \begin{bmatrix} q & -b \\ -q & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ r \end{bmatrix}$

Atau juga bisa dengan cara seperti berikut.

$x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{\left| \begin{matrix} c & b \\ r & q \end{matrix} \right| }{\left| \begin{matrix} a & b \\ p & q \end{matrix} \right| }$

$y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{\left| \begin{matrix} a & c \\ p & r \end{matrix} \right| }{\left| \begin{matrix} a & b \\ p & q \end{matrix} \right| }$

Contoh soal sistem persamaan linear dua variabel yang diselesaikan menggunakan matriks dapat dilihat pada pembahasan di bawah.
Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear:

$2x + y = 5$

$x + y = 7$

Selanjutnya, akan diselesaikan SPLDV di atas menggunakan matriks. Bentuk matriks dari persamaan SPLDV pada soal adalah sebagai berikut.

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{2 - 1} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 9 \end{bmatrix}$

Jadi, solusi dari dua persamaan linear dua variabel 2x + y = 5 dan x + y = 7 adalah $x = -2$ dan $y = 9$

ATURAN CRAMER

Aturan Cramer untuk Sistem 3 × 3

Aturan Cramer dapat diperluas untuk sistem persamaan linear 3 × 3, dengan menggunakan pola yang sama dengan sistem 2 × 2. Diberikan sistem umum 3 × 3,

Solusi-solusi dari sistem tersebut adalah x = Dx/D, y = Dy/D, dan z = Dz/D, dimana Dx, Dy, dan Dz dibentuk dengan mengganti koefisien variable-variabel yang bersangkutan dengan konstanta, dan D adalah determinan dari matriks koefisien (D ≠ 0).

Penerapan Aturan Cramer untuk Sistem 3 × 3

Diberikan suatu sistem persamaan linear 3 × 3

Solusi dari sistem tersebut adalah (x, y, z), dimana

dengan syarat D ≠ 0.

Contoh 2: Menyelesaikan Sistem 3 × 3 Menggunakan Aturan Cramer

Selesaikan sistem berikut dengan menggunakan aturan Cramer.

Pembahasan Pertama kita tentukan determinan dari matriks koefisien untuk memastikan apakah aturan Cramer dapat diterapkan atau tidak. Dengan menggunakan baris ketiga kita mendapatkan

Karena D ≠ 0, kita lanjut untuk menentukan determinan dari matriks-matriks lainnya dengan menggunakan Ms. Excel (rumus untuk menentukan determinan dalam Ms. Excel adalah “=MDETERM(array)”).

Sehingga kita memperoleh,

Jadi, selesaian dari sistem tersebut adalah (2, 0, –1).

Menyelesaikan SPLTV dengan Matriks

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks akan sangat bermanfaat pada sistem persamaan linear dengan variabel yang banyak, misalnya pada sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Metode substitusi, eliminasi, atau campuran dirasa tidak tepat untuk menyelesaikan SPLTV. Selanjutnya, simak penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) menggunakan matriks.

Diketahui tiga persamaan linear dengan tiga variabel (x, y, dan z) seperti terlihat pada persamaan di bawah.

$ax + by + cz = d$

$px + qy + rz = s$

$kx + ly + mz = n$

Bentuk SPLTV di atas dalam bentuk matriks dapat dibuat seperi berikut.
Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Matriks

Berdasarkan matriks di atas, dapat disusun determinan utama, determinan variabel x, determinan variabel y, dan determinan variabel z. Untuk lebih jelasnya perhatikan masing-masing determinan pada daftar di bawah.

CONTOH SOAL

𝓕(𝒙)	𝓕′(𝒙)
𝐬𝐢𝐧𝒙	cos𝑥
𝐜𝐨𝐬𝒙	−sin𝑥
𝐭𝐚𝐧𝒙	𝑠𝑒𝑐2𝑥
𝐬𝐞𝐜𝒙	tan𝑥.sec𝑥
𝐜𝐨𝐭𝒙	−𝑐𝑠𝑐2𝑥
𝐜𝐬𝐜𝒙	−cot𝑥.csc𝑥