Elemen, Himpunan, dan Bilangan

ELEMEN DAN HIMPUNAN

Pengertian Himpunan dan Elemen

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Dari definisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota himpunan atau bukan.  Elemen atau anggota  dari suatu himpunan dalam matematika adalah objek-objek matematika tertentu yang membentuk himpunan itu.

     Contoh Himpunan:

1. Himpunan warna lampu lalu lintas, anggota himpunannya adalah merah, kuning, dan  hijau.
2. Himpunan bilangan prima kurang dari 10, anggota himpunannya adalah 2, 3, 5, dan 7.
3. kumpulan hewan berkaki 2 
4. kumpulan anak SMP1NDI kelas 7A
5. kumpulan kendaraan beroda 2 
6. kumpulan atlit bulutangkis dari Indonesia 
7. kumpulan bilangan bulat positif yg kurang dari 10

Contoh Bukan Himpunan:

1. Kumpulan baju-baju bagus.
2. Kumpulan makanan enak.
3. kumpulan anak pandai 
4.  kumpulan anak cantik 
5. kumpulan anak tampan 
6. kumpulan anak bodoh 
7. kumpulan anak tinggi

Jenis-Jenis Himpunan

1. Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Syarat :

A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B

A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

Contoh :

Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka  B ⊂ A

Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya.

Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A  juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.

   2. Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.

Syarat :

Himpunan kosong = A atau { } Himpunan kosong adalah tunggal

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.

Sebab : { 0 } ≠ { }

Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).

3. Himpunan Semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.

4. Himpunan Sama (Equal)

Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.dinotasikan dengan A=B

Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.

Contoh :

A ={ c,d,e}    B={ c,d,e }   Maka A = B

Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

5. Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.

Contoh  C = {1, 3, 5, 7}   dan  D = {2, 4, 6}  Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.

Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama

6. Himpunan Komplemen (Complement set)

Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC . Himpunan komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis :

AC = {x│x Є U, x Є A}

7. Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.

Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

 Contoh :

A = { w,x,y,z }→n (A) = 4

B = {  r,s,t,u   } →n  (B) = 4

Maka n (A) =n (B) →A≈B

Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.

Cara Menyatakan Himpunan

Himpunan dapat dinyatakan melalui tiga cara :

1. Dengan kata-kata
   yaitu dengan menyebutkan semua syarat ataupun sifat-sifat keanggotaan dari suatu himpunan.
   Contoh: A adalah himpunan bilangan asli antara 5 dan 12, ditulis A = {bilangan asli antara 5 dan 12}
2. Dengan Notasi Pembentuk Himpunan
   yaitu menyebutkan semua syarat atau sifat ke-anggotaan dari suatu himpunan, namun anggota himpunan dinyatakan dalam variabel peubah.
   Contoh: A adalah himpunan bilangan asli antara 5 dan 12, dituliskan {x: 5<x<12,x bilangan asli}.
3. Dengan Mendaftar Anggota-anggotanya
   Yaitu menuliskan anggota-anggota himpunan dalam pasangan kurung kurawal dan memisahkan dengan tanda koma.
   Contoh: A adalah himpunan bilangan asli antara 5 dan 12, ditulis A= {6,7,8,9,10,11)

Operasi Himpunan

1. Irisan Himpunan

Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya ada di himpunan A dan ada di himpunan B. Dengan kata lain yaitu himpunan yang anggotanya ada di kedua himpunan tersebut.

Contoh: A = {a, b, c, d, e} dan B = {b, c, f, g, h}

Pada kedua himpunan tersebut ada dua anggota yang sama yaitu b dan c. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa irisan himpunan A dan B adalah b dan c atau ditulis dengan:

A ∩ B = {b, c}

A ∩ B dibaca himpunan A irisan himpunan B. Dengan diagram Venn A ∩ B bisa dinyatakan seperti pada Gambar berikut ini.

2. Gabungan Himpunan

A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

Contohnya :

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {2, 3, 5, 7, 11}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 11}

3. Selisih

A Selisih B ditulis A-B = {x | x ∈ A atau x Ï B}

Contohnya :

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {2, 3, 5, 7, 11}

A-B = {1, 4}

4. Komplemen himpunan

Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x | x ∈ S dan x Ï A}

Contohnya :

A= {1, 2, … , 5}

S = {biangan Asli kurang dari 10}

Ac = {6, 7, 8, 9}

Diagram Venn

Diagram venn adalah menyajikan suatu himpunan dengan satu himpunan memakai lingkaran dan seluruh himpunan atau himpunan semesta digambarkan dengan gambar segi empat.

Macam – Macam Himpunan

1. Himpunan bilangan asli, yaitu A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … }
2. Himpunan dari bilangan cacah , yaitu C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. }
3. Himpunan dari bilangan prima, yaitu X = { 2, 3, 5, 7, …. }
4. Himpunan bilangan ganjil, yaitu G = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …. }
5. Himpunan bilangan genap, misalnya G = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …. }
6. Dan seterusnya.

Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel bisa dilakukan dengan empat metode yaitu :

1. metode grafik
2. metode substitusi
3. metode eliminasi
4. metode campuran (substitusi dan eliminasi).

Jika ada dua buah persamaan liniear dua variabel berbentuk ax + by = c dan px + qy = r, dimana persamaan yang satu dan lainnya tidak terpisahkan, maka persamaan-persamaan itu dinamakan sistem persamaan linear dua variabel.

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel yaitu:

ax + by = c

px + qy = r

Pada sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) a, b, p, dan q disebut koefisien, x dan y ialah variabel dari SPLDV, serta c dan r disebut konstanta.

Metode Grafik

Ketika memakai metode grafik, wajib menggambar masing-masing persamaan linear dua variabel dalam koordinat kartesius. Himpunan penyelesaiannya yaitu titik potong dari kedua garis.

Jika garisnya tidak berpotongan atau sejajar, Maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong. Tetapi jika garisnya berhimpit maka jumlah himpunan penyelesaiannya tak berhingga.

Metode Subtitusi

Langkah-langkah dengan menggunakan metode substitusi untuk mencari himpunan penyelesaian dari SPLDV yaitu sebagai berikut.

1. Ubahlah salah satu persamaan ke dalam bentuk x = … atau y = …
2. Masukkan (substitusi) nilai x atau y yang di dapat ke dalam persamaan yang kedua
3. Nilai x atau y yang di dapat lalu kemudian disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan untuk memperoleh nilai variabel lainnya yang belum diketahui (x atau y).

Metode Eliminasi

Penyelesaian SPLDV dengan metode eliminasi pada dasarnya yaitu menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan yang akan dicari himpunan penyelesaiannya.

Caranya dengan menjumlahkan ataupun mengurangkan kedua sistem persamaan tersebut.

Untuk menentukan variabel y, maka hilangkan terlebih dahulu variabel x.

Begitu juga sebaliknya, untuk menentukan variabel x, maka hilangkan terlebih dahulu variabel y.

Sebagai catatan

Untuk menghilangkan variabel x atau y maka koefisien dari masing-masing variabel dalam sistem persamaan harus sama.

Jika salah satunya tidak sama maka harus disamakan terlebih dahulu. Caranya mengalikan dengan bilangan bulat tertentu sehingga koefisiennya menjadi sama

Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi)

Dalam pengerjaan soal persamaan linear dua variabel, terkadang menemukan kesulitan jika menggunakan metoda eliminasi untuk menentukan himpunan penyelesaiannya.

Oleh sebab itu, bisa menggunakan metode campuran, yaitu dengan cara menentukan salah satu variabel x atau y dengan menggunakan metode eliminasi.

Hasil yang diperoleh dari x atau y kemudian disubstitusikan ke salah satu persamaan linear dua variabel tersebut.

BILANGAN

Pengertian Bilangan

Bilangan adalah kumpulan angka yang menempati urutan dari sebelah kanan sebagai nilai satuan, puluhan, ratusan, ribuan dan seterusnya. Sedangkan pengertian bilangan menurut wikipedia yaitu suatu konsep matematika yang dipergunakan untuk pencacahan serta pengukuran.

Simbol dan lambang yang dipakai untuk mewakili suatu bilangan disebut dengan angka atau lambang bilangan. Didalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, serta bilangan kompleks.

Macam-macam Bilangan

1. Bilangan Cacah 

Bilangan cacah adalah bilangan yang dimulai dari angka 0 dan selalu bertambah 1 dengan bilangan setelahnya.

contoh : 0, 1, 2, 3, 4 dan seterusnya.

2. Bilangan Asli

Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari angka 1 dan bertambah 1.

contoh : 1, 2, 3, 4, 5 dan seterusnya.

3. Pecahan Biasa

Pecahan biasa adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam a/b, dengan a dan b merupakan bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan a disebut dengan pembilang sedangkan bilangan b disebut dengan penyebut.

contoh : 7/3, 1/3, 5/66

4. Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah himpunan bilangan bulat negatif, bilangan nol dan bilangan bulat positif.

contoh : ...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .....

5. Bilangan Prima

Bilangan prima adalah seluruh bilangan asli yang hanya mempunyai faktor pembagi satu dan bilangan itu sendiri atau bilangan yang hanya dapat dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri.

contoh : 2, 3, 5, 7, 11,....

6. Bilangan Komposit

Bilangan komposit adalah seluruh bilangan asli kecuali 1 dan tidak termasuk dalam bilangan prima.

contoh : 4, 6, 8, 9, 10,.....


7. Bilangan Rasional.

Bilangan rasional adalah semua bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b merupakan anggota bilangan bulat serta b ≠ 0.

8. Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b merupakan anggota bilangan bulat serta b ≠ 0. merupakan kebalikan bilangan rasional.

9. Bilangan Riil

Bilangan riil adalah merupakan gabungan dari bilangan rasional dengan bilangan irasional.

10. Bilangan Desimal

Bilangan desimal adalah bilangan yang mempunyai bentuk ciri ciri antar bilangan dipisahkan dengan tanda koma sebanyak satu.

11. Bilangan Pangkat

Bilangan pangkat adalah bilangan yang dihasilkan dari mengalikan sebuah bilangan beberapa kali.


12. Bilangan Imajiner

Bilangan Imajiner atau yang dikenal dengan bilangan khayal adalah bilangan yang memiliki sifat  i2 = −1 . Dengan kata lain, bilangan tersebut memiliki akar negatif.

Contoh : I = { i, 4i, 5i, ….. }

13 . Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks ialah bilangan yang dinotasikan oleh a+bi , dimana a dan b ialah bilangan riil, dan  ialah suatu bilangan imajiner dimana i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Bila dalam satu bilangan kompleks, nilai b ialah 0, jadi bilangan kompleks itu menjadi sama juga dengan bilangan real a.

Untuk contoh, 3 + 2i merupakan bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.


14. Bilangan Genap

Bilangan Genap adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 2n dan bilangan itu habis dibagi dengan bilangan 2.

Contoh: {2, 4, 6, 8, 10, 12, ….}

15. Bilangan Ganjil

Bilangan Ganjil adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 2n – 1 dan tidak habis dibagi dengan bilangan 2.

Contoh: {-3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, … }


16. Bilangan Nol

Bilangan 0 adalah satu angka kosong (0) untuk mewakili angka di angka. Peranan terpenting angka 0 ialah menjadi identitas untuk bilangan real, bulat, dan aljabar yang lain.


17. Bilangan Negatif

Bilangan negatif ialah suatu bilangan yang mempunyai nilai minus (-) atau negatif.

Contoh: { dan seterusnya -5, -4, -3, -2, -1 }

Demikianlah sekelumit uraian mengenai Elemen,Himpunan,dan Bilangan, Semoga bermanfaat bagi pembaca semua.

Terimakasih.