TURUNAN FUNSGI 1 VARIABEL

.    DEFINISI

   Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misal fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beratuhan atauTurunan merupakan tingkat perubahan sesaat sebuah fungsi terhadap salah satu variabelnya. Tingkat perubahan fungsi f(x) untuk setiap nilai x, yaitu turunan f(x), dapat dinyatakan dengan rumus:

 

 Turunan Fungsi Aljabar

Berikut ini rumus turunan untuk bentuk fungsi aljabar. Rumus ini didapat dari penjabaran rumus turunan di atas.

1. Jika y = k, maka y’ = 0
2. Jika y = x, maka y’ = 1
3. Jika , maka 
4. Jika , maka 

KAIDAH - KAIDAH DIFERENSIAL

1. Diferensiasi Konstanta

Jika y=k , dimana k adalah konstanta , maka  dy/dx = 0

Contoh : y = 10 , maka  = 0

Atau lebih mudahnya kalau kita mengganti simbol dy/dx menjadi y’ , misalnya :

y = 100 → y’ = 0

y =1/2  → y’ = 0

2. Diferensiasi Fungsi Pangkat

jika y = xn dan adalah konstanta maka dy/dx = n.Xn-1

Contoh :

        1.  y = x7

            y’ = 7x6

      2.  y = x-8

            y’= -8x-9

3. Diferensiasi Perkalian Konstanta dengan fungsi

Jika y=kv dan v=h(x) maka dy/dx = k dv/dx

Contoh :

1. y= 4x3 , maka dy/dx = 4 ( 3x2 ) = 12x2
2. y= 5x-8 → y’= -40x-9
3. y= 6x5 → y’ = 30x4
4. y = 3x7
   y’ = 7.3x7-1
   y’ = 21x6
   

4. Diferensiasi Pembagian Konstanta Dengan Fungsi

Jika y= k/v , dimana v=h(x) , maka dy/dx = k dv/dx / v2

Contoh :

1.  y = 5/x3 ,
     dy/dx = 5(3x2) / (x3)2
                = -15x2/ x6
2. y = 4/x-8
   y’= -4.-8x9 / (x-8)2
   y’ = 32x-9 / x--16
   y’= (32x-9). x16 

             y’=32x7

5. Diferensiasi Penjumlahan / pengurangan fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka dy/dx = du/dx ± dv/dx

Contoh :

         y = 4x2 + x3 misalkan u = 4x2 → du/dx = 8x

         v = x3 → du/dx = 3x2 , maka dy/dx = 8x + 3x2

         y = -2x-1+ 4x + 8 , maka y’= 2x-2+ 4

6. Diferensiasi Perkalian Fungsi

Jika y=uv, dimana u = g(x) dan v=h(x)

Maka dy/dx= u dv/dx + v du/dx

Contoh :

1. y = (4x2) (x3)

              Misalkan u = 4x2 → du/dx = 8x

             v = x3 → dv/dx = 3x2

             Maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx

             = (4x2) (3x2) + (x3) (8x)

             = 12x4+ 8x4

            = 20x4

     2. y = (8x2) (x4)

            Misalkan u = 8x2 → du/dx = 16x

            v = x4 → dv/dx = 4x3

            Maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx

                = (8x2) (4x3) + (x4) (16x)

                = 32x5+ 16x5

                = 48x5

7. Diferensiasi Pembagian Fungsi

Jika y = U/V , dimana U = g(x) dan V=h(x)

Maka y’= VU’-UV’ / V2

Contoh :

1. y = U/V → y = (4x2) / x3

             y’= x3(8x) – (4x2). 3x2 / (x3)2

                = 8x4-12x4 / x6

                = -4x4/ x6

               = -4x-2

     2.  y = (12x2) / x5

         y’= x5(24x) – (12x2) . 5x4 / (x5)2

               = 24x6 – 60x6 / x10

              = -36 x6 / x10

           = -36 x-4

. PERUBAHAN

1.   Laju Perubahan Nilai Fungsi

Laju perubahan suatu fungsi dibedakan menjadi dua ,yaitu laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat.

a.    Laju Perubahan Rata-Rata

Jika diketahui suatu fungsi y = f(x) maka laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) pada interval  dirumuskan dengan  .

Contoh :

Diketahui suatu fungsi f(x) = 2x² + 5x + 3 dengan daerah asal  = {x|x .

Jika -2  tentukan laju perubahan rata-rata fungsi f(x) terhadap x.

Penyelesaian:

f(x) = 2x² + 5x + 3

untuk x = -2  maka f(-2) = 2(-2)² + 5(-2) + 3 = 1

untuk x = 3 maka f(3) = 2(3)² + 5(3) + 3 = 36

 

Jadi, laju perubahan rata-rata fungsi f(x) adalah 7.

Laju Perubahan Sesaat

Laju perubahan sesaat suatu fungsi y = f(x) adalah laju perubahan yang sesaat, artinya perubahan pada interval 

Contoh:

Diketahui suatu persegi panjang dengan panjang 5x cm dan lebar 2x cm. tentukan perubahan luas persegi panjang terhadap panjang sisi x ketika x = 4 cm

Penyelesaian:

Luas persegi panjang = L = p . l = 5x  . 2x = 10x²

Luas perubahan sesaat L = f(x) adalah:

 

 

 =80+0 

 =80

TURUNAN FUNGSI (Lebih Dari 1 Variabel))

° Turunan Parsial.

Diketahui   z = f(x,y) fungsi  dengan dua variabel independen x dan y.  Karena  x dan y independen maka :

                1.  x  berubah-ubah sedangkan y tertentu.

                2 . y  berubah-ubah sedangkan x tertentu. 

Definisi

a. Turunan parsial terhadap variabel x

                     Jika  x  berubah-ubah  dan y  tertentu maka  z  merupakan fungsi x, Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap x  sbb :

ii) Turunan parsial terhadap variabel y

      Jika  y  berubah-ubah  dan x  tertentu maka  z  merupakan fungsi

      y,  Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap y  sbb :

a.       Fungsi dua peubah atau lebih

            Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit.  Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum  ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.

Contoh:

1.      z = 2x + y

2.      xy + xz – yz = 0

a.      Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

            Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah
3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

            Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

Definisi

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan 

 dan

Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan  sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan  sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

            Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh:

. Differensial Total dan Turunan Total

membentuk turunan parsial  dan  ,perubahan  dan  ditinjau berasingan.sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama. Dalam Persamaan linier dari  dan berbentuk  disebut diferensial total dari z dititik 9( x,y) dan dinyatakan oleh dz :

dz =

 jika z = f (x,y)mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D ,maka z mempunyai diferensial total :

dz =  disetiap titik (x,y) dari D

Untuk fungsi dari variabel atau lebih ,misalnya w = f ( x, y ,u ,v ) maka :

dw =

 Contoh

1.      tentukan dw  jika w =  !

penyelesaian :

dw =  dx +  dy -  dz

2.      radius dan tinggi sebuah silinder  lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm ,dengan kemungkinan kesalahan pengukuran  .gunakan diferensial  total untuk menaksir kesalahn maksimum dalam volume yang diukur.

Penyelesaian :

Diketahui : v =

r= 4 cm

h=10 cm

dr=dh =  0,05 cm

ditanya : dv = ?

jawab :

dv =  dr +  dh           

dv = 2  +  dh

subsitusikan r = 4 ,h = 10 cm  dan dr =dh = sehingga menghasilkan  dv =2  (40) (  (

=

Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan.

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Fungsi Implisit 4 Peubah

BU dinyatakan dengan

Atau ditulis dalam bentuk

F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0

dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.

TURUNGAN FUNGSI (1 Variabel)

DEFINISI

   Turunan dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi

Jika kita mengatakan bahwa “turunan dari  adalah “, maka pernyataan itu adalah BENAR, karena . Tapi, akan SALAH jika turunan disamakan dengan diferensial. Jika kita mengatakan bahwa “diferensial dari  adalah “, maka pernyataan itu adalah SALAH. Kalau ingin betulnya, harus seperti ini: “diferensial dari  adalah  dikalikan dengan diferensial x” atau dapat ditulis begini: 

Turunan fungsi  yang dinotasikan sebagai , merupakan sebuah fungsi yang nilainya pada sebarang nilai x:

Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Jika u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, dan u'(x) dan v'(x) adalah turunannya, maka kita dapat menurunkan rumus turunan hasil kali, hasil bagi dua fungsi dan pemangkatan fungsi, yakni sebagai berikut:

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar berikut

(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)
(b) f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)
Jawab
(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)

Misalkan
u = x2 – 4x maka u’ = 2x
v = 2x + 3 maka v’ = 2

maka
f ‘(x) = u’.v + u.v’
f ‘(x) = (2x)(2x + 3) + (x2 – 4x)(2)
f ‘(x) = 2x2 + 6x + 2×2 – 8x
f ‘(x) = 4×2 – 2x

(b). f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)

Misalkan
u = 2x2 + 3x – 5 maka u’ = 4x + 3
v = 4x – 2 maka v’ = 4

maka
f ‘(x) = u’.v + u.v’
f ‘(x) = (4x + 3)(4x – 2) + (2x2 + 3x – 5)(4)
f ‘(x) = 16x2 – 8x + 12x – 6 + 8x2 + 12x – 20
f ‘(x) = 24x2 + 16x – 26

Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus dasar turunan fungsi trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan kosinus, yang diperoleh dari konsep limit, yakni sebagai berikut:
Jika y = sin x maka y’ = cos x 
Jika y = cos x maka y’ = –sin x

Dari rumus dasar tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yakni turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut adalah
Jika y = tan x maka y’ = sec2x
Jika y = cot x maka y’ = – cosec2x
Jika y = sec x maka y’ = sec x . tan x
Jika y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x
Selanjutnya, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yakni sebagai berikut :

Misalkan u(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk y = f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)
y’ = (cos u)(u’)
y’ = u’.cos u

Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u adalah fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka diperoleh:
Untuk y = sin u maka y’ = u’.cos u
Untuk y = cos u maka y’ = –u’.sin u
Untuk y = tan u maka y’ = u’. sec2u
Untuk y = cot u maka y’ = u’. cosec2u
Untuk y = sec u maka y’ = u’. sec u . tan u
Untuk y = csc u maka y’ = –u’. cosec u . tan u
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut.

Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini :
1. f(x) = cos (3x – 4)
2. f(x) = 3.tan (x2 – 4)

Jawab

1. f(x) = cos (3x – 4)

Maka
f ’(x) = (3)(–sin(3x – 4))
f ’(x) = –3.sin(3x – 4)

2. f(x) = 3.tan (x2 – 4)

Maka
f ’(x) = (2x)(3)sec2 (x2 – 4)
f ’(x) = 2x sec2 (x2 – 4)