TURUNAN FUNSGI 1 VARIABEL

.    DEFINISI

   Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misal fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beratuhan atauTurunan merupakan tingkat perubahan sesaat sebuah fungsi terhadap salah satu variabelnya. Tingkat perubahan fungsi f(x) untuk setiap nilai x, yaitu turunan f(x), dapat dinyatakan dengan rumus:

 

 Turunan Fungsi Aljabar

Berikut ini rumus turunan untuk bentuk fungsi aljabar. Rumus ini didapat dari penjabaran rumus turunan di atas.

1. Jika y = k, maka y’ = 0
2. Jika y = x, maka y’ = 1
3. Jika , maka 
4. Jika , maka 

KAIDAH - KAIDAH DIFERENSIAL

1. Diferensiasi Konstanta

Jika y=k , dimana k adalah konstanta , maka  dy/dx = 0

Contoh : y = 10 , maka  = 0

Atau lebih mudahnya kalau kita mengganti simbol dy/dx menjadi y’ , misalnya :

y = 100 → y’ = 0

y =1/2  → y’ = 0

2. Diferensiasi Fungsi Pangkat

jika y = xn dan adalah konstanta maka dy/dx = n.Xn-1

Contoh :

        1.  y = x7

            y’ = 7x6

      2.  y = x-8

            y’= -8x-9

3. Diferensiasi Perkalian Konstanta dengan fungsi

Jika y=kv dan v=h(x) maka dy/dx = k dv/dx

Contoh :

1. y= 4x3 , maka dy/dx = 4 ( 3x2 ) = 12x2
2. y= 5x-8 → y’= -40x-9
3. y= 6x5 → y’ = 30x4
4. y = 3x7
   y’ = 7.3x7-1
   y’ = 21x6
   

4. Diferensiasi Pembagian Konstanta Dengan Fungsi

Jika y= k/v , dimana v=h(x) , maka dy/dx = k dv/dx / v2

Contoh :

1.  y = 5/x3 ,
     dy/dx = 5(3x2) / (x3)2
                = -15x2/ x6
2. y = 4/x-8
   y’= -4.-8x9 / (x-8)2
   y’ = 32x-9 / x--16
   y’= (32x-9). x16 

             y’=32x7

5. Diferensiasi Penjumlahan / pengurangan fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka dy/dx = du/dx ± dv/dx

Contoh :

         y = 4x2 + x3 misalkan u = 4x2 → du/dx = 8x

         v = x3 → du/dx = 3x2 , maka dy/dx = 8x + 3x2

         y = -2x-1+ 4x + 8 , maka y’= 2x-2+ 4

6. Diferensiasi Perkalian Fungsi

Jika y=uv, dimana u = g(x) dan v=h(x)

Maka dy/dx= u dv/dx + v du/dx

Contoh :

1. y = (4x2) (x3)

              Misalkan u = 4x2 → du/dx = 8x

             v = x3 → dv/dx = 3x2

             Maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx

             = (4x2) (3x2) + (x3) (8x)

             = 12x4+ 8x4

            = 20x4

     2. y = (8x2) (x4)

            Misalkan u = 8x2 → du/dx = 16x

            v = x4 → dv/dx = 4x3

            Maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx

                = (8x2) (4x3) + (x4) (16x)

                = 32x5+ 16x5

                = 48x5

7. Diferensiasi Pembagian Fungsi

Jika y = U/V , dimana U = g(x) dan V=h(x)

Maka y’= VU’-UV’ / V2

Contoh :

1. y = U/V → y = (4x2) / x3

             y’= x3(8x) – (4x2). 3x2 / (x3)2

                = 8x4-12x4 / x6

                = -4x4/ x6

               = -4x-2

     2.  y = (12x2) / x5

         y’= x5(24x) – (12x2) . 5x4 / (x5)2

               = 24x6 – 60x6 / x10

              = -36 x6 / x10

           = -36 x-4

. PERUBAHAN

1.   Laju Perubahan Nilai Fungsi

Laju perubahan suatu fungsi dibedakan menjadi dua ,yaitu laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat.

a.    Laju Perubahan Rata-Rata

Jika diketahui suatu fungsi y = f(x) maka laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) pada interval  dirumuskan dengan  .

Contoh :

Diketahui suatu fungsi f(x) = 2x² + 5x + 3 dengan daerah asal  = {x|x .

Jika -2  tentukan laju perubahan rata-rata fungsi f(x) terhadap x.

Penyelesaian:

f(x) = 2x² + 5x + 3

untuk x = -2  maka f(-2) = 2(-2)² + 5(-2) + 3 = 1

untuk x = 3 maka f(3) = 2(3)² + 5(3) + 3 = 36

 

Jadi, laju perubahan rata-rata fungsi f(x) adalah 7.

Laju Perubahan Sesaat

Laju perubahan sesaat suatu fungsi y = f(x) adalah laju perubahan yang sesaat, artinya perubahan pada interval 

Contoh:

Diketahui suatu persegi panjang dengan panjang 5x cm dan lebar 2x cm. tentukan perubahan luas persegi panjang terhadap panjang sisi x ketika x = 4 cm

Penyelesaian:

Luas persegi panjang = L = p . l = 5x  . 2x = 10x²

Luas perubahan sesaat L = f(x) adalah:

 

 

 =80+0 

 =80