Matematika

MATRIKS LANJUTAN II

1. DETERMINAN

METODE SARRUS

Ciri khas metode ini adalah pola perkalian menyilang elemen matriks.

Ciri khas ini juga dimiliki pola Sarrus 4×4, hanya saja dengan jumlah pola yang lebih banyak yaitu 3 pola.

Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!

$\large A = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1 &3 &-7 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}$

Maka determinan matriks A, yaitu:

Det A =(-2)(3)(-8) + (4)(-7)(-1) + (-5)(1)(4) – ((-5)(3)(-1) + (-2)(-7)(4) + (4)(1)(-8))

Det A = (48 + 28 – 20) – (15 + 56 -32) = 56 – 39 = 17

Matriks 3×3 mempunyai sembilan elemen, jika salah satu atau beberapa elemennya bernilai nol.

Maka, perhitungan determinan dengan cara sarrus akan sedikit lebih cepat.

METODE MINOR DAN KOFAKTOR

Salah satu cara menentukan determinan matriks segi adalah denga minor-kofaktor elemen matriks tersebut.

Cara ini dijelaskan sebagai berikut:

Misalkan

A_{i j}

adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari suatu matriks

A_{m x n}

Didefinisikan sebagai berikut:

Minor elemen $a_{i j}$ diberi notasi $M_{i j}$ , adalah $M_{i j} = d e t (A_{i j})$ .
Kofaktor elemen $a_{i j}$ , diberi notasi $α_{i j}$ , adalah $α_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}$ .

Contoh:

Misalkan suatu matriks A berukuran 3x3 seperti berikut ini:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix})

maka diperoleh:

Perhitungan Determinan dengan Minor-Kofaktor

Definisi: Misalkan suatu matriks A =

(a_{i j})_{n x n}

dan

a_{i j}

kofaktor elemen

a_{i j}

, maka:

EKSPANSI LAPLACE

Ada banyak sekali metode untuk menyelesaikan permasalahan mengenai determinan mulai dari sarrus, metode minor kofaktor, metode reduksi baris, dan lain-lain. Metode Larplace merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan determinan matriks.
Metode ini menggunakan bantuan determinan matriks 2x2 yang terbentuk dari pencoretan baris ke i dan kolom ke j. Kita dapat memilih akan mengekspansi ke arah mana yang kita mau, bisa searah baris ke i bisa juga searah kolom ke j .Contohnya dengan matriks A yang sama dengan contoh di atas dan kita ekspansi searah dengan baris 1.

yang dicoret adalah baris 1 dan kolom 1, maka

didapatkan sebuah bilangan baru dengan tanda positiv dengan cara mengalikan elemen pada baris 1 dan kolom 1 dengan determinan matriks sisa pencoretan yaitu Berikutnya kita coret baris 1 kolem ke 2 lalu dilanjutkan coret baris baris 1 kolom 3. Selesai untuk menghitung nilai determinannya tinggal menjumlahkan ketiga bilangan tersebut yaitu.

Untuk aturan tanda positif negatifnya seperti berikut

Matriks Balikan (Invers)

Orde 2x2

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan $B = A^{-1}$ ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan $A = B^{-1}$ . Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}$ dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0

Dengan Rumus =

$A^{-1} = \frac{1} {det (A)}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\ -\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\ \end{bmatrix}$

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

Contoh 1: Matriks

A = $\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$

AB = $\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ = I (matriks identitas)

BA = $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ = I (matriks identitas)

Maka dapat dituliskan bahwa $B = A^{-1}$ (B Merupakan invers dari A)

CONTOH SOAL

Matriks Lanjutan

TRANSFORMASI ELEMENTER

Yang dimaksud dengan transformai pada baris atau kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut.

Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis H_ij(A) untuk transformasi baris dan K_ij(A) untuk transformasi kolom.

Contoh :

K₁₃(A) berarti menukar kolom ke-2 matriks A dengan kolom ke-3

2. memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h¹0, ditulis H_i^(h)(A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar k¹0, ditulis K_i^(k)(A).

Contoh :

3. Menambah kolom ke-i dengan k kali koom ke-j, ditulis K_ij^(k)(A) dan menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j, ditulis H_ij^(h)(A).

Contoh :

MATRIKS EKUIVALEN

Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer terhadap baris dan kolom. Kalau transformasi elementer hanya terjadi pada baris saja disebut ELEMENTER BARIS, sedangkan jika transformasi terjadi pada kolom saja disebut ELEMENTER KOLOM.

CONTOH SOAL

Matematika

Jumat, 06 Desember 2019

MATRIKS

Matriks Balikan (Invers)

MATRIKS

Laporkan Penyalahgunaan