TURUNAN FUNGSI

Turunan Fungsi Implisit

Definisi Turunan Fungsi Implisit yaitu fungsi yang memuat dua variabel  atau lebih,  variabel-variabel tersebut terdiri dari variabel bebas dan variabel tidak bebas, biasanya variabel-variabel tersebut dinyatakan dalam x dan y dimana variabel x dan y terletak didalam satu ruas sehingga tidak dapat dipisahkan menjadi ruas yang berbeda (baca : ruas kiri dan ruas kanan) seperti halnya fungsi eksplisit.

Turunan Fungsi Implisit  Serta bentuk umum nya

    Secara umum bentuk  turunan fungsi implisit  adalah f(x,y) = 0, mencari turunan fungsi implisit sama dengan mencari solusi bentuk umumnya dan prinsipnya tidak jauh berbeda dengan mencari turunan fungsi biasa.

Untuk lebih jelasnya Perhatikan contoh-contoh soal dibawah ini, bagaimana mencari turunan fungsi implisit.

Contoh :

Tentukan   dari setiap fungsi Implisit dibawah ini!

[Penyelesaian]

Turunkanlah kedua ruas terhadap x,

[Penyelesaian]

Turunkanlah kedua ruas terhadap x,

[penyelesaian]

Turunkanlah kedua ruas terhadap x

[Penyelesaian]

Turunkanlah kedua ruas terhadap x

[Penyelesaian]

Turunkanlah kedua ruas terhadap x

Beberapa kasus dapat diselesaikan dengan 2 cara yaitu:

Cara I :

x3-3x2y+y2=0

3x2-6xy-3x2dydx+2ydydx=0

dydx(-3x2+2y)=-3x2+6xy

dydx=-3x2+6xy-3x2+2y

Cara II:

x3-3x2y+y2=0

3x2dx-6xy dx-3x2dy+2y dy=03x2-6xy-3x2dydx+2ydydx=0:dx

dydx(-3x2+2y)=-3x2+6xy

dydx=-3x2+6xy-3x2+2y

TURUNAN FUNSGI 1 VARIABEL

.    DEFINISI

   Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misal fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beratuhan atauTurunan merupakan tingkat perubahan sesaat sebuah fungsi terhadap salah satu variabelnya. Tingkat perubahan fungsi f(x) untuk setiap nilai x, yaitu turunan f(x), dapat dinyatakan dengan rumus:

 

 Turunan Fungsi Aljabar

Berikut ini rumus turunan untuk bentuk fungsi aljabar. Rumus ini didapat dari penjabaran rumus turunan di atas.

1. Jika y = k, maka y’ = 0
2. Jika y = x, maka y’ = 1
3. Jika , maka 
4. Jika , maka 

KAIDAH - KAIDAH DIFERENSIAL

1. Diferensiasi Konstanta

Jika y=k , dimana k adalah konstanta , maka  dy/dx = 0

Contoh : y = 10 , maka  = 0

Atau lebih mudahnya kalau kita mengganti simbol dy/dx menjadi y’ , misalnya :

y = 100 → y’ = 0

y =1/2  → y’ = 0

2. Diferensiasi Fungsi Pangkat

jika y = xn dan adalah konstanta maka dy/dx = n.Xn-1

Contoh :

        1.  y = x7

            y’ = 7x6

      2.  y = x-8

            y’= -8x-9

3. Diferensiasi Perkalian Konstanta dengan fungsi

Jika y=kv dan v=h(x) maka dy/dx = k dv/dx

Contoh :

1. y= 4x3 , maka dy/dx = 4 ( 3x2 ) = 12x2
2. y= 5x-8 → y’= -40x-9
3. y= 6x5 → y’ = 30x4
4. y = 3x7
   y’ = 7.3x7-1
   y’ = 21x6
   

4. Diferensiasi Pembagian Konstanta Dengan Fungsi

Jika y= k/v , dimana v=h(x) , maka dy/dx = k dv/dx / v2

Contoh :

1.  y = 5/x3 ,
     dy/dx = 5(3x2) / (x3)2
                = -15x2/ x6
2. y = 4/x-8
   y’= -4.-8x9 / (x-8)2
   y’ = 32x-9 / x--16
   y’= (32x-9). x16 

             y’=32x7

5. Diferensiasi Penjumlahan / pengurangan fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka dy/dx = du/dx ± dv/dx

Contoh :

         y = 4x2 + x3 misalkan u = 4x2 → du/dx = 8x

         v = x3 → du/dx = 3x2 , maka dy/dx = 8x + 3x2

         y = -2x-1+ 4x + 8 , maka y’= 2x-2+ 4

6. Diferensiasi Perkalian Fungsi

Jika y=uv, dimana u = g(x) dan v=h(x)

Maka dy/dx= u dv/dx + v du/dx

Contoh :

1. y = (4x2) (x3)

              Misalkan u = 4x2 → du/dx = 8x

             v = x3 → dv/dx = 3x2

             Maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx

             = (4x2) (3x2) + (x3) (8x)

             = 12x4+ 8x4

            = 20x4

     2. y = (8x2) (x4)

            Misalkan u = 8x2 → du/dx = 16x

            v = x4 → dv/dx = 4x3

            Maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx

                = (8x2) (4x3) + (x4) (16x)

                = 32x5+ 16x5

                = 48x5

7. Diferensiasi Pembagian Fungsi

Jika y = U/V , dimana U = g(x) dan V=h(x)

Maka y’= VU’-UV’ / V2

Contoh :

1. y = U/V → y = (4x2) / x3

             y’= x3(8x) – (4x2). 3x2 / (x3)2

                = 8x4-12x4 / x6

                = -4x4/ x6

               = -4x-2

     2.  y = (12x2) / x5

         y’= x5(24x) – (12x2) . 5x4 / (x5)2

               = 24x6 – 60x6 / x10

              = -36 x6 / x10

           = -36 x-4

. PERUBAHAN

1.   Laju Perubahan Nilai Fungsi

Laju perubahan suatu fungsi dibedakan menjadi dua ,yaitu laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat.

a.    Laju Perubahan Rata-Rata

Jika diketahui suatu fungsi y = f(x) maka laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) pada interval  dirumuskan dengan  .

Contoh :

Diketahui suatu fungsi f(x) = 2x² + 5x + 3 dengan daerah asal  = {x|x .

Jika -2  tentukan laju perubahan rata-rata fungsi f(x) terhadap x.

Penyelesaian:

f(x) = 2x² + 5x + 3

untuk x = -2  maka f(-2) = 2(-2)² + 5(-2) + 3 = 1

untuk x = 3 maka f(3) = 2(3)² + 5(3) + 3 = 36

 

Jadi, laju perubahan rata-rata fungsi f(x) adalah 7.

Laju Perubahan Sesaat

Laju perubahan sesaat suatu fungsi y = f(x) adalah laju perubahan yang sesaat, artinya perubahan pada interval 

Contoh:

Diketahui suatu persegi panjang dengan panjang 5x cm dan lebar 2x cm. tentukan perubahan luas persegi panjang terhadap panjang sisi x ketika x = 4 cm

Penyelesaian:

Luas persegi panjang = L = p . l = 5x  . 2x = 10x²

Luas perubahan sesaat L = f(x) adalah:

 

 

 =80+0 

 =80